1DR1104 - Algebra liniowa z geometrią

Course secondName name: 

Linear Algebra with Geometry

Short content: 

1. Zapoznanie się przez studentów z podstawowymi pojęciami algebry liniowej, takimi jak:
    a) grupa, podgrupa, pierścień, ciało,
    b) przestrzeń liniowa, algebra liniowa, odwzorowanie liniowe,
    c) norma wektora i iloczyn skalarny,
2. Poznanie podstawowych własności liczb zespolonych.
3. Wprowadzenie pojęcia macierzy i działań na macierzach.
4. Określenie wyznacznika i macierzy odwrotnej.
5. Wprowadzenie pojęć wymienionych w punktach 2, 3 i 4 jako szczególnych przypadków ogólnych struktur z punktu 1, np. macierze odwracalne jako grupa i ich własności jako ogólne własności grupy.
6. Pokazanie związku między rozwiązywalnością układów równań liniowych a pojęciami liniowej niezależności wektorów i bazy przestrzeni liniowej.
7. Wprowadzenie do geometrii analitycznej.

Syllabus details: 

1. Grupa, grupa przemienna, podgrupa. Pierścień, pierścień z jedynką, przemienny, bez dzielników zera.
 Ciało liczb zespolonych. Moduł i sprzężenie liczby zespolonej. Argument i postać trygonometryczna liczby zespolonej. Pierwiastek n – tego stopnia z liczby zespolonej. Postać wykładnicza liczby zespolonej.
2. Pierścienie wielomianów C[z] i R[z]. Wielomiany pierwsze, złożone i względnie pierwsze. Wielomiany pierwsze w pierścieniach C[z] i R[z]. Rozkład wielomianu na wielomiany pierwsze w pierścieniach C[z] i R[z]. Zasadnicze twierdzenie algebry.
3. Funkcje wymierne (właściwe, nieskracalne). Ułamki proste względem ciał C i R. Rozkład funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste.
4. Pojęcie macierzy. Działania algebraiczne na macierzach. Macierz transponowana. Ślad macierzy. Macierz jednostkowa. Liniowa algebra łączna z jedynką macierzy kwadratowych.
5. Wyznacznik macierzy. Minor macierzy prostokątnej. Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika. Rząd macierzy prostokątnej.
6. Macierz dołączona. Macierz odwrotna. Grupa GL(n, K) odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia n (K - ciało R lub C) i jej własności.
7. Układ n równań liniowych niejednorodnych o n niewiadomych i jego postać macierzowa. Układ Cramera i dwie metody jego rozwiązywania.
8. Liniowa niezależność (zależność) układu wektorów w przestrzeni liniowej. Układ wektorów generujących przestrzeń liniową. Skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa. Baza i wymiar skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej.
9. Baza kanoniczna n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Związek liniowej niezależności w tej przestrzeni z rzędem macierzy.
10. Odwzorowanie liniowe. Macierz odwzorowania liniowego.
11. Układ m równań liniowych niejednorodnych o n niewiadomych. Warunki rozwiązywalności tego układu. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Układ sprzeczny. Układ rozwiązalny: oznaczony lub nieoznaczony.
12. Norma w przestrzeni liniowej nad ciałem R. Iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej nad ciałem R i jego podstawowe własności. Baza ortonormalna.
13. 3-wymiarowa przestrzeń euklidesowa. Iloczyn wektorowy w tej przestrzeni. Związek iloczynu wektorowego z iloczynem skalarnym i liniową niezależnością wektorów.
14.Płaszczyzny i proste w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Obliczanie wzajemnych położeń i odległości.
15. Wartości i wektory własne, jądro i obraz odwzorowań liniowych. Przykłady w dwu i trójwymiarowym przypadku przestrzeni wektorowej.

Literature: 

1. Mostowski, A., Stark, M. : Elementy algebry wyższej (Biblioteka Matematyczna, Tom 16). PWN, Warszawa(1965).
2. Trajdos, T. : Matematyka, Część III. Wydawnictwa Naukowo -Techniczne, Warszawa(1993).
3. Białynicki-Birula, A. : Algebra (Biblioteka Matematyczna, Tom 40). PWN, Warszawa(1971).

Grading criteria: 

W związku z koniecznością prowadzenia zajęć w trybie zdalnym i niemożliwością bezpośredniego kontaktu ze studentem poniższe regulacje zostają na ten okres zmodyfikowane. Obok dwóch testów w trakcie semestru i egzaminu końcowego (z przeskalowaną punktacją z powodu braku możliwości oceny aktywności studenta) zakłada się dodatkowo możliwość rozmowy weryfikacyjnej ze studentem w trybie zdalnym (audio-video) .

1. Dwa kolokwia (ćwiczenia) - 2 x 10 = 20p.
2. Egzamin pisemny - 30 p.
3. Ocena końcowa.
a) Suma punktów z kolokwiów i egzaminu pisemnego:
26 - 30 p. : 3,0
31 - 35 p. : 3,5
36 - 40 p. : 4,0
41 - 45 p. : 4,5
46 - 50 p. : 5,0.
b) Egzamin ustny dla osób, które z pisemnego i kolokwiów uzyskały łącznie mniej niż 26 p.
c) Egzamin ustny dla osób, które z pisemnego i kolokwiów uzyskały łącznie co najmniej 26 p.
i chcą podwyższyć ocenę.

Notes: 

Courses which this course is based on (prerequisities):